阅读了我往期专栏文章后，你可能会意识到我是一个善于分析的人。因此本专栏文章将专门讨论度量——即测量某物的方法主题。之前专栏文章《可生产性和其他度量数据》中提到了度量的4个级别。《面向制造和组装设计第2部分》则介绍了度量的5个阶段。本文将主要介绍无量纲量。 无量纲量是研究各种物理现象或工程问题的常用方法。代数或微分无量纲方程包含没有物理量纲的变量。例如，大多数人更喜欢使用马赫数而不是速度，因为前者更容易比较性能。这些数字（系数或因子）是物理世界的一部分，存在于科学、经济学、医学、地球物理学和生态学中，有1200多个无量纲量。阿伏加德罗常数是化学应用中的常数之一。本专栏仅讨论热力学、流体力学、固体力学和电磁学工程中使用的那些无量纲量。 为什么？ 这些系数或因子在现代工业和科学中是必不可少的，这些数字是我在第9篇专栏文章中描述的度量数据。它们使我们能够量化那些原本属于想法或推测范畴的生理或心理活动。过去的40年里，我在印制电路制造中使用的一个数据是复杂性指数，这个指数使我能够（根据设计信息）对PCB制造中的首次合格率进行建模，误差只有3%~7%。使用这个程序，可以创建许多其他要素，简化了设计、制造或装配中的复杂系统工作。建议可在需要测量某物时使用这个程序。 量纲系统 工程中使用的每个数值特征都包含以下三个要素： 名称 量级 尺寸 量纲有两种类型：基本量纲和导出量纲。基本量纲不能用其他量纲来表示，它们是更复杂的导出量纲的构建要素。 有时，一组基本量纲有一个专用的名称，称之为单位。一类专用单位是量纲为1的单位，当单位的所有基本量纲都相消时，就会产生这种单位。虽然不完全准确，但这种单位被称为无量纲参数。这些单位通常称为数字、比率、指数、因子、效应或系数。比如常见的有：马赫数、长细比、Toms效应、雷诺数和摩擦系数。这些绝对数字的优点是其数值与所用的量纲系统无关。 可以根据是使用公制还是美英制，以及是使用力还是质量作为基本量纲来分类今天使用的所有量纲系统。基于力的系统包括米千克秒（MKS）力和英美工程系统。基于质量的系统包括国际单位制和英制质量系统。 MKS：基本量纲为米（m）、千克（kg）和秒（s），其中千克表示力。质量为导出量纲：kg-s2/m。直到最近，该系统在欧洲大陆工程中才得到了广泛的应用，且目前仍然受到许多欧洲人的青睐。 美国/英国工程：基本量纲为英尺（或英寸）、磅（lb）和秒，其中磅表示力。因此，质量的单位为lb-s2/ft（也称为斯勒格）或lb-s2/in。 国际单位制：基本单位为千克（质量）、米和秒。力是导出量纲，单位为牛顿。国际单位制实际上有7个基本量纲，还包括安培、开尔文、摩尔和坎德拉。 英制质量：在该系统中，磅是质量单位，对应等于国际单位制中的0.45359237千克。力是一个导出量纲，其单位为磅，在数值上相当于将1 lb质量达到lft./s2加速度所施加的力。1磅等于0.138254954 kg-m/s2（国际单位制）， 约为美国/英国工程系统中的0.5 oz。 质量系统的优点是这个量纲与重力加速度g的数值无关，重力加速度g即使在海平面上也会随纬度变化0.5%。因此，在宇宙中任何地方使用基于质量的系统都是一致的。 另一方面，把质量作为基本量纲在日常生活中是不切实际的，因为质量不能被直接感知或测量。相反，质量必须使其受到已知的惯性或重力加速度并测量产生的力来间接确定。 量纲分析 在工程中，量纲分析是利用不同物理因素/数量的基本量纲（如质量、长度、时间、电荷或温度等）及采用其测量单位（如华氏与摄氏度、英里与公里，或者磅与千克）来计算比较量纲，分析之间的关系。两个量纲的单位转换通常有点复杂。量纲分析，或者更具体地说是一种因子标记法，也被称为单位系数法，是一种使用代数规则进行这种转换广泛采用的方法。 Issam Sinjab教授在ResearchGate的讨论中说：“在更抽象的层面上，量纲分析允许你抽象出各种各样的现象，使你了解一些参数消失并且可以忽略的情况。流体力学中的雷诺数就是一个很好的例子。在雷诺数很低的情况下，方程中的许多项消失，因此即使在所有雷诺数下的流动基本上都由Navier-Stokes方程控制，也可以用非常简单的（层流）方程来近似计算系统。” 另一个有趣的例子是，数学家G.I.Taylor利用某些方程的无量纲形式计算出了20世纪40年代原子弹的高度机密信息。 无量纲方程的目的 通过减少所使用的变量数来简化方程 分析系统行为而无需考虑测量变量所采用的单位 重新调整参数和变量的比例，使所有计算量的顺序相同（相对相似的量级） 将物理系统从实验扩大到生产 物理量纲的概念是由Joseph Fourier于1822年提出的。具有相同测量标准的物理量具有相同的量纲；如果它们具有不同的量纲，则无法比较。例如，询问1克是小于、相同还是大于1分钟是没有意义的。 工程设计的一项主要工作就是确定影响零件或系统的物理因素是如何相互作用的。这种相互作用被表示为一个方程组，可以用一个图或一系列图来说明。 有时，相互作用是直接的，很容易导出之间的关系。 但有时，相互作用更加复杂，必须进行复杂的测试来确定相关的方程式。 然而，有一种科学的方法可以用来确定各种设计因素如何相互作用。这种方法被称为量纲分析，它包括导出变量的无量纲组合，然后就可以很容易地绘制出相互作用图。量纲分析可用于： 快速而容易地发现分析衍生关系中的某些错误 减少在变量之间建立经验关系所需的测试数量 简化理论或实验推导关系的表示 作为所有模型法则的基础，这些法则是降低设计成本和复杂性以及科学问题的重要手段 图2A:工程中的77个无量纲参数 图2B：另外77个无量纲参数 伪自变量雷诺数的例子 如果你不熟悉无量纲参数，让我选一个你可能听说过的雷诺数。1883年， Osborne Reynolds从乔治·斯托克斯爵士（Sir George Stokes）完成的工作中首次定量描述了管道中液体的层流和紊流。Reynolds发现，流体速度、流体密度、流体黏度和管道直径决定了管道中流体流动的能量损耗/性质。这4个变量的量纲分析结合起来形成了一个单一的无量纲参数，我们称之为雷诺数（Re）。图1显示了采用Darcy-Weisbach摩擦因子与雷诺数（Re）绘制的穆迪图，雷诺数（Re）可用作流体流动中管道各种相对粗糙度图的独立自变量。 从下面的方程式中，你可以看到量纲项是如何抵消的。 其中：D =管道直径(cm) = l ρ=流体密度(克/立方升) = m/l3 v =流体速度(厘米/每秒) = l/t μ =流体动力黏度(克/升秒) = m/lt 在工程中，有154个无量纲参数可用于简化物理主题的分析。Reynold数是154个参数之一。其他如图2A和2B所示。
